PUNTO DE LLEGADA
ü Resuelvo y formulo problemas utilizando
propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de
las distintas formas de la desigualdad y las de la adición y sustracción.
ü
Justifico
procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las
operaciones.
ACTIVIDADES DE PUNTO DE
PARTIDA
1.
En
tu cuaderno, escribe algunos datos numéricos personales como:
• Fecha de
nacimiento.
• Número de tu
documento de identidad.
• Estatura en
centímetros.
• Edad en años
cumplidos.
• Número de
teléfono.
• Número de
hermanos.
2. Halla el resultado de:
20+4= 27-3= 6x4= 48÷2=
· ¿Representan estas expresiones el mismo resultado?
· Se puede afirmar que 20+4 = 27-3 = 6x4 = 48÷2. ?
3. Mira con
atención la siguiente figura y contesta las preguntas:
Tomando como
punto de referencia la casa de María:
·
¿Cuántas cuadras separan la casa de
María de la casa de Pedro?
·
¿Cuántas cuadras separan la casa de
María de la casa de Jorge?
4. Juanito
realizó la siguiente operación 2.324 + 115
= 3.474, lo que hizo fue lo siguiente:
UM
|
C
|
D
|
U
|
|
2
|
3
|
2
|
4
|
+
|
1
|
1
|
5
|
||
3
|
4
|
7
|
4
|
·
¿Qué error cometió? Puedes ayudarte de
un ábaco para explicarle.
5. Realiza las
siguientes operaciones:
a. 20341 b. 59043 c.
6080
5183 -27859 -5989
1072
471
+
1062
INVESTIGACIÓN
1. Realice lectura de los documentos Anexo 1.
y Anexo 2.
2.En la parte de atrás de tu cuaderno, define cada uno de los términos que
se encuentran subrayados en los anexos.
3.Termina
de llenar el siguiente cuadro, con la información que aparece en los anexos.
Propiedades
del sistema de los números naturales.
|
||
Dados los números naturales a, b y c, se cumple:
|
||
Propiedad
|
Suma
|
Resta
|
Clausurativa
|
a+b Є N
|
a+b
 N cuando a<b. |
Asociativa
|
||
Modulativa
|
||
Propiedad
|
Desigualdad
|
|
Transitiva
|
||
DESARROLLO DE LA HABILIDAD
1.
Observa las figuras 1, 2,3 y 4 que
parecen a continuación:
La
disposición de las figuras se ha arreglado, teniendo en cuenta el número de
lados.
En
tu cuaderno, debes copiar la siguiente tabla y completarla. Para ello debes
contar los lados y las diagonales en cada figura.
2.
Clasifica los números de la siguiente lista en: Naturales y no naturales.
a.
4 b. 1/4 c. 12 d. 0.2 e. 100 f. 3/5
g.
1.245 h. 160,1 i. 5 j. 0,3 k. 0 l. 2,5
3.
Utiliza los símbolos <,> ó = según corresponda, para ordenar de mayor a
menor, según las edades, a los siguientes alumnos: Juan (8años); Pedro (13
años); María (12 años); Juliana (9 años) y Raúl (16 años).
4.
Seis personas tienen en cuenta de ahorros, en el banco de la ciudad. Sus
saldos, en pesos, son los siguientes:
a.
5.241 b. 819 c. 74.816
d.74.716 e. 5.231 f. 823
Ordénalos
de menor a mayor, utilizando el símbolo <,> ó = según corresponda.
5.
Realiza las operaciones indicadas y coloca en las casillas: <, >ó =,
según corresponda:
a.45□444
b.4561□4568
c.
Si 55>32 y 22<32, 55□22
d.3+5
□ 8 e.9+0 □ 9 f.5-2 □ 3
g. 9-0 □
9 h. 2x9 □ 10+9 i.
9x9 □ 2-3
j.
3x5 □ 4x4. k. 6x6
□ 9x4. l. 8+2 □ 2+8
m.
8-2 □ 2-8 n. 5+(2+4)
□ (2+5)+4 o. 5-(2-4)□(2-5)-4
P. 5-2+3+9-3-2 □
2+3-4-6-8 q. 5+2-3+6+5□10-5-2+12
6. Termina de llenar el siguiente cuadro con
la palabra SI, si la propiedad se cumple, ó NO si la propiedad no se cumple,
además enseguida de la palabra SI ó NO escribe entre paréntesis el numeral a,
b, c, d, f, g, h, i, j, k, l, m, n ó o, del punto anterior en el que se observa
esta propiedad.
Propiedades
de los números naturales (N)
|
||
Propiedad
|
Suma
|
Resta
|
Modulativa
|
SI (g)
|
|
Clausurativa
|
||
Asociativa
|
||
Propiedad
|
Desigualdades
< ó >
|
|
Transitiva
|
||
7.
Representa en la siguiente recta numérica las siguientes situaciones:
a. Mira en las actividades del punto de
partida, la figura que contiene las casas
de María, Pedro y Jorge. Representa esa situación, en la siguiente recta
numérica, ubicando como punto 0, de referencia, la casa de María y escribiendo
las unidades correspondientes a las cuadras que hay desde el punto de
referencia hasta las casas de Pedro y Jorge. Sobre que unidad queda ubicada la
casa de Jorge?
b.
Jorge, sale de su casa y camina hacia la casa María 5 cuadras. En la recta
numérica anterior, dibuja la nueva posición de Jorge, sobre que unidad quedo
ubicado? Cuál es el número antecesor de la unidad en la que se encuentra Jorge?
c.
Pedro, sale de su casa y camina 6 cuadras hacia la casa de Jorge. En la recta
numérica anterior, dibuja la nueva posición de Pedro, sobre que unidad quedo
ubicado? Cuál es el numero sucesor a la unidad en la que se encuentra Pedro?
8.
Trabajando están 3 mujeres y 5 hombres, ¿cuántas personas hay en total?
9.
Marcos y Miguel están llenando el álbum de láminas del mundial de fútbol. Marcos
tiene 25 láminas y Miguel tiene 43. ¿Cuántas láminas debe conseguir Marcos para
tener el mismo número de láminas que Miguel?
10.
Samuel invirtió $2.000.000 (dos millones de pesos) en un negocio, al cabo de 2
meses hace cuentas y tiene $1.500.000. ¿Cuánto dinero perdió?
Cantidad
invertida – cantidad perdida = cantidad actual.
RELACIÓN
1. 1. Tú tienes 8 dulces de chocolate y le
regalas 3 a tu primo. ¿Cuántos te quedaron?
2.
2.Tú tía te regala $15,000 (quince mil pesos). Tú
los guardas en tu bolsillo y ahora tienes $37,000. ¿Cuánto dinero tenías en tu billetera,
antes del regalo de tu tía?
3.
Pregunta a tu
padre y/o madre: ¿Cuánto gana mensual?, ¿Cuánto cuesta un mes de arriendo?,
¿Cuánto gasta mensual en el mercado?, ¿Cuánto gasta mensual en pasajes?. Realiza
las operaciones correspondientes, para saber ¿Cuánto dinero tiene tu padre y/o
madre al final de mes?.
4.
Una niña de grado
sexto, vende galletas, a la salida del colegio, ella reporta, las siguientes
cantidades por día: lunes, 23 galletas;
martes, 19 galletas; miércoles, 22 galletas; jueves, 21 galletas; viernes, 30
galletas y sábado, 24 galletas. Ordena:
a. Los días en orden de ventas de
mayor a menor.
b. Las cantidades vendidas de mayor a
menor.
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ANEXO 1. CONJUNTO
DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA RECTA NUMÉRICA Y
SUS RELACIONES DE ORDEN.
Los
números naturales, son aquellos que sirven para:
Identificar.
Por ejemplo, un número telefónico, una
dirección,…
Cuantificar.
Por ejemplo, caminé 5 cuadras desde mi casa
hasta la iglesia, tengo $10,000.
Estos
números se denominan cardinales por indicar la cantidad de elementos de
un conjunto.
También, sirven para contar el número de elementos de un
conjunto determinado. Por ejemplo, el conjunto de los dedos de las manos:
Ordenar.
Por ejemplo, primero me lavo las manos, segundo
tomo el almuerzo y tercero descanso.
Aquí se
utilizan los números ordinales, que son aquellos que nos indican una
secuencia u orden en la ocurrencia de formado por astros, planetas, estrellas,
etc. la representación de la estructura de un átomo, el dibujo del “hombre de
Vitruvio”, realizado en sucesos. Ellos son:
El
conjunto de los números naturales se simboliza con letra (
) y se determina
por extensión de la siguiente manera:
) y se determina
por extensión de la siguiente manera:
Los
elementos del conjunto de los números naturales se pueden representar en una
semirrecta numérica, así:
Puede
observarse que en el conjunto de los números naturales:
1.
El 0 es el primer número y en la recta numérica corresponde al punto
referencia.
2.
Todos los números Naturales tienen un sucesor: 10 es sucesor de 9, porque 10 es
el número que está después de 9.
3.
Todo número natural, excepto el cero, tiene un antecesor: 8 es antecesor de 9,
porque 8 es el número que está antes de 9.
4.
Dos números Naturales diferentes no tienen el mismo sucesor.
Relaciones de orden entre números
naturales:
Dados
dos números del conjunto de los números Naturales, existe solamente una de tres
posibilidades:
•
Que el primero de ellos sea mayor que el segundo.
•
Que el segundo sea menor que el primero o
•
Que los dos sean iguales.
Por
ejemplo ¿Qué relación de orden existe entre 5, 3 y 2?
Veamos:
Como
se observa el antecesor (el anterior de un número) es menor que el sucesor (el
posterior o siguiente de un número).
Transitividad
(propiedad transitiva):
Es el orden que se establece entre
tres elementos de un conjunto numérico.
Por ejemplo: Si 3 es menor que 4 y 4 es menor que 5, entonces, 3
es menor que 5.
Se escribe: Si 3 < 4 y 4 < 5, entonces 3 < 5.
• El número de dígitos (cifras) de dos o más números dados determina
que el mayor es el que tenga más dígitos (cifras).
Por ejemplo: Dados los números 5.348 y 31. ¿Cuál de los dos es
mayor?
Veamos: 5.348 tiene cuatro dígitos y 31 tiene solamente dos
dígitos, entonces, 2.348 es mayor que 31, es decir:
5.348 > 31 se lee 5.348 es mayor que 31.
·
Si tienen igual número de
dígitos, se comparan éstos por las unidades de mayor orden (…, decenas de mil,
unidades de mil, centenas, decenas o unidades) y es mayor el que tenga en el último
orden el dígito mayor). Por ejemplo: Dados los números 10.567 y 10.528, ¿Cuál
de los dos es mayor?
Veamos: 10.567 es mayor
que 10.528 ya que comparando las decenas de cada número dado 6 > 2 las
decenas tienen el dígito 6 mayor que el 2. Luego: 10.567 > 10.528.
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ANEXO 2. PROPIEDADES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE
NÚMEROS NATURALES.
Adición: Dados a, b, c Є,
se define la suma o adición como a + b = c., donde a y b se denominan sumandos
y c suma o total.
,
se define la suma o adición como a + b = c., donde a y b se denominan sumandos
y c suma o total.
Sustracción: es la operación por medio de la cual,
conocidos la suma y uno de los sumandos, se puede hallar el otro sumando. Dados
a, b, c Є,
se define la resta o sustracción como a-b=c siempre que a= b + c, donde a se
denomina minuendo, b sustraendo y c diferencia. Por
ejemplo,13-8=5, ya que 5+8=13.
,
se define la resta o sustracción como a-b=c siempre que a= b + c, donde a se
denomina minuendo, b sustraendo y c diferencia. Por
ejemplo,13-8=5, ya que 5+8=13.
Ejemplos:
PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES: SUMA Y RESTA ENTRE
NÚMEROS NATURALES.
Propiedad clausurativa:
La suma de dos o más números naturales es otro número natural.
Ejemplo: 3 y 1 son dos números naturales, 3 + 1 = 4, 4 también es
un número natural.
3 es un número natural, 1 es un número natural y 4 también es un
número natural.
Luego, la operación suma del sistema de los números naturales,
es clausurativa.
La propiedad clausurativa, no se cumple para la resta de números
naturales. Pues
9-13= un numero no natural.
Propiedad
conmutativa: El orden en que
se escriban los sumandos no cambia el resultado de una suma.
Ejemplo:
Entonces, 3 + 2 = 2 + 3, 5 = 5
Luego, la operación suma del sistema de los números
naturales, es conmutativa.
La propiedad conmutativa,
no se cumple para la resta de números naturales.
Propiedad
asociativa: Dos o más números se pueden adicionar formando
grupos diferentes y la suma no cambia.
Ejemplo:
Luego, la operación suma del sistema de los números
naturales, es asociativa.
La propiedad asociativa,
no se cumple para la resta de números naturales.
Propiedad
modulativa:
18
+ 0 = 18
35
+ 0 = 35
1 + 0 = 1
Como
se observa, el módulo de la suma en el sistema de números naturales es cero.
La
suma de un número Natural con cero, da como resultado el mismo número natural.
EJEMPLO:
Si a=1.019, b=3.545, c=13.017 y d=8.940,
efectúa, la siguiente operación: a+c+b+d+0
= a+b+c+d+0
Propiedad conmutativa.
= 1.019 + 3.545 + 13.017 + 8.940 + 0 Reemplazar valores.
= (1.019 + 3.545) + (13.017 + 8.940 + 0) Propiedad asociativa.
=(1.019 + 3.545) + (13.017 + 8.940) Propiedad modulativa.
=4.564 + 21.957 Efectuar
sumas indicadas.
=26.521
SUMAS Y RESTAS COMBINADAS
Frecuentemente, encontramos problemas prácticos
cuya solución exige efectuar sumas y restas.
Ejemplo:
Carlos tenía en el banco $12.427.
Posteriormente realizó las siguientes operaciones:
|
1
|
En enero retira
|
$
3.428
|
|
2
|
En febrero deposita
|
$
1.285
|
|
3
|
En abril deposita
|
$
4.824
|
|
4
|
En junio retira
|
$
6.289
|
|
5
|
En julio retira
|
$
2.626
|
|
6
|
En octubre deposita
|
$ 4.315
|
|
7
|
En diciembre retira
|
$ 8.415
|
Determinemos el saldo de
la cuenta al final del año, lo cual podemos hacer de dos maneras:
1.
En el mismo orden de los depósitos y retiros.
$12.427 - $ 3.428 + $ 1.285 + $ 4.824
- $ 6.289 - $ 2.626 + $ 4.315 - $ 8.415= 2.093
2.
Sumando separadamente los depósitos y los retiros, y finalmente
restando los resultados, así:
|
DEPOSITOS
|
RETIROS
|
|||
|
$
12.427
|
$
3.428
|
|||
|
$
1.285
|
$
6.289
|
|||
|
$
4.824
|
$
2.626
|
|||
|
$
4.315
|
$
8.415
|
|||
|
22.851
|
_
|
20.758
|
=
|
2.093
|
|
Suma
de positivos
|
Suma
de negativos
|
|
