GUÍA 4. ORDEN, ADICIÓN Y RESTA DE LOS NÚMEROS NATURALES

PUNTO DE LLEGADA

ü  Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición y sustracción.

ü  Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

ACTIVIDADES DE PUNTO DE PARTIDA

1.       En tu cuaderno, escribe algunos datos numéricos personales como:

• Fecha de nacimiento.

• Número de tu documento de identidad.

• Estatura en centímetros.

• Edad en años cumplidos.

• Número de teléfono.

• Número de hermanos.

2. Halla el resultado de:

       20+4=               27-3=               6x4=                 48÷2=

·  ¿Representan estas expresiones el mismo resultado?

·  Se puede afirmar que 20+4 = 27-3 = 6x4 = 48÷2. ?

3. Mira con atención la siguiente figura y contesta las preguntas:

Tomando como punto de referencia la casa de María:

·         ¿Cuántas cuadras separan la casa de María de la casa de Pedro?

·         ¿Cuántas cuadras separan la casa de María de la casa de Jorge?

4. Juanito realizó la siguiente operación 2.324 +  115 = 3.474, lo que hizo fue lo siguiente:

UM	C	D	U
2	3	2	4	+
1	1	5
3	4	7	4

·         ¿Qué error cometió? Puedes ayudarte de un ábaco para explicarle.

5. Realiza las siguientes operaciones:

a.  20341                  b. 59043            c.  6080

               5183                     -27859                -5989

               1072

                 471

            + 1062

INVESTIGACIÓN

1. Realice lectura de los documentos Anexo 1. y Anexo 2.

2.En la parte de atrás de tu cuaderno, define cada uno de los términos que se encuentran subrayados en los anexos.

3.Termina de llenar el siguiente cuadro, con la información que aparece en los anexos.

Propiedades del sistema de los números naturales.
Dados los números naturales a, b y c, se cumple:
Propiedad	Suma	Resta
Clausurativa	a+b Є N	a+b N cuando a<b.
Asociativa
Modulativa
Propiedad	Desigualdad
Transitiva

DESARROLLO DE LA HABILIDAD

1. Observa las figuras 1, 2,3 y 4  que parecen a continuación:

La disposición de las figuras se ha arreglado, teniendo en cuenta el número de lados.

En tu cuaderno, debes copiar la siguiente tabla y completarla. Para ello debes contar los lados y las diagonales en cada figura.

2. Clasifica los números de la siguiente lista en: Naturales y no naturales.

a. 4             b. 1/4       c. 12         d. 0.2         e. 100      f. 3/5

g. 1.245      h. 160,1    i. 5            j. 0,3         k. 0           l. 2,5

3. Utiliza los símbolos <,> ó = según corresponda, para ordenar de mayor a menor, según las edades, a los siguientes alumnos: Juan (8años); Pedro (13 años); María (12 años); Juliana (9 años) y Raúl (16 años).

4. Seis personas tienen en cuenta de ahorros, en el banco de la ciudad. Sus saldos, en pesos, son los siguientes:

a. 5.241        b. 819        c. 74.816

d.74.716       e. 5.231     f. 823

Ordénalos de menor a mayor, utilizando el símbolo <,> ó = según corresponda.

5. Realiza las operaciones indicadas y coloca en las casillas: <, >ó =, según corresponda:

a.45□444            b.4561□4568           c. Si  55>32 y 22<32, 55□22

d.3+5 □ 8            e.9+0 □ 9                   f.5-2 □ 3  

g. 9-0 □  9            h. 2x9 □ 10+9           i. 9x9 □ 2-3

j. 3x5 □ 4x4.         k. 6x6 □ 9x4.            l. 8+2 □  2+8                

m.  8-2 □  2-8        n. 5+(2+4) □ (2+5)+4       o. 5-(2-4)□(2-5)-4

P. 5-2+3+9-3-2 □ 2+3-4-6-8         q. 5+2-3+6+5□10-5-2+12

6. Termina de llenar el siguiente cuadro con la palabra SI, si la propiedad se cumple, ó NO si la propiedad no se cumple, además enseguida de la palabra SI ó NO escribe entre paréntesis el numeral a, b, c, d, f, g, h, i, j, k, l, m, n ó o, del punto anterior en el que se observa esta propiedad.

Propiedades de los números naturales (N)
Propiedad	Suma	Resta
Modulativa		SI (g)
Clausurativa
Asociativa
Propiedad	Desigualdades < ó >
Transitiva

7.  Representa en la siguiente recta numérica las siguientes situaciones:

a. Mira en las actividades del punto de partida,  la figura que contiene las casas de María, Pedro y Jorge. Representa esa situación, en la siguiente recta numérica, ubicando como punto 0, de referencia, la casa de María y escribiendo las unidades correspondientes a las cuadras que hay desde el punto de referencia hasta las casas de Pedro y Jorge. Sobre que unidad queda ubicada la casa de Jorge?

 

b. Jorge, sale de su casa y camina hacia la casa María 5 cuadras. En la recta numérica anterior, dibuja la nueva posición de Jorge, sobre que unidad quedo ubicado? Cuál es el número antecesor de la unidad en la que se encuentra Jorge?

c. Pedro, sale de su casa y camina 6 cuadras hacia la casa de Jorge. En la recta numérica anterior, dibuja la nueva posición de Pedro, sobre que unidad quedo ubicado? Cuál es el numero sucesor a la unidad en la que se encuentra Pedro?

8. Trabajando están 3 mujeres y 5 hombres, ¿cuántas personas hay en total?

9. Marcos y Miguel están llenando el álbum de láminas del mundial de fútbol. Marcos tiene 25 láminas y Miguel tiene 43. ¿Cuántas láminas debe conseguir Marcos para tener el mismo número de láminas que Miguel?

10. Samuel invirtió $2.000.000 (dos millones de pesos) en un negocio, al cabo de 2 meses hace cuentas y tiene $1.500.000. ¿Cuánto dinero perdió?

Cantidad invertida – cantidad perdida = cantidad actual.

RELACIÓN

1.     1.  Tú tienes 8 dulces de chocolate y le regalas 3 a tu primo. ¿Cuántos te quedaron?

2.        2.Tú tía te regala $15,000 (quince mil pesos). Tú los guardas en tu bolsillo y ahora tienes $37,000. ¿Cuánto dinero tenías en tu billetera, antes del regalo de tu tía?

3.       Pregunta a tu padre y/o madre: ¿Cuánto gana mensual?, ¿Cuánto cuesta un mes de arriendo?, ¿Cuánto gasta mensual en el mercado?, ¿Cuánto gasta mensual en pasajes?. Realiza las operaciones correspondientes, para saber ¿Cuánto dinero tiene tu padre y/o madre al final de mes?.

4.       Una niña de grado sexto, vende galletas, a la salida del colegio, ella reporta, las siguientes cantidades  por día: lunes, 23 galletas; martes, 19 galletas; miércoles, 22 galletas; jueves, 21 galletas; viernes, 30 galletas y sábado, 24 galletas. Ordena:

a. Los días en orden de ventas de mayor a  menor.

b. Las cantidades vendidas de mayor a menor.

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ANEXO 1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA RECTA NUMÉRICA Y  SUS RELACIONES DE ORDEN.

Los números naturales, son aquellos que sirven para:

Identificar. Por ejemplo, un número telefónico, una dirección,…

Cuantificar. Por ejemplo, caminé 5 cuadras desde mi casa hasta la iglesia, tengo $10,000.

Estos números se denominan cardinales por indicar la cantidad de elementos de un conjunto.

También,  sirven para contar el número de elementos de un conjunto determinado. Por ejemplo, el conjunto de los dedos de las manos:

Ordenar. Por ejemplo, primero me lavo las manos, segundo tomo el almuerzo y tercero descanso.

Aquí se utilizan los números ordinales, que son aquellos que nos indican una secuencia u orden en la ocurrencia de formado por astros, planetas, estrellas, etc. la representación de la estructura de un átomo, el dibujo del “hombre de Vitruvio”, realizado en sucesos. Ellos son: 

El conjunto de los números naturales se simboliza con letra () y se determina por extensión de la siguiente manera:

Los elementos del conjunto de los números naturales se pueden representar en una semirrecta numérica, así:

Puede observarse que en el conjunto de los números naturales:

1. El 0 es el primer número y en la recta numérica corresponde al punto referencia.

2. Todos los números Naturales tienen un sucesor: 10 es sucesor de 9, porque 10 es el número que está después de 9.

3. Todo número natural, excepto el cero, tiene un antecesor: 8 es antecesor de 9, porque 8 es el número que está antes de 9.

4. Dos números Naturales diferentes no tienen el mismo sucesor.

Relaciones de orden entre números naturales:

Dados dos números del conjunto de los números Naturales, existe solamente una de tres posibilidades:

• Que el primero de ellos sea mayor que el segundo.

• Que el segundo sea menor que el primero o

• Que los dos sean iguales.

Por ejemplo ¿Qué relación de orden existe entre 5, 3 y 2?

Veamos:

Como se observa el antecesor (el anterior de un número) es menor que el sucesor (el posterior o siguiente de un número).

Transitividad (propiedad transitiva): Es el orden que se establece entre tres elementos de un conjunto numérico.

Por ejemplo: Si 3 es menor que 4 y 4 es menor que 5, entonces, 3 es menor que 5.

Se escribe: Si 3 < 4 y 4 < 5, entonces 3 < 5.

• El número de dígitos (cifras) de dos o más números dados determina que el mayor es el que tenga más dígitos (cifras).

Por ejemplo: Dados los números 5.348 y 31. ¿Cuál de los dos es mayor?

Veamos: 5.348 tiene cuatro dígitos y 31 tiene solamente dos dígitos, entonces, 2.348 es mayor que 31, es decir:

5.348 > 31 se lee 5.348 es mayor que 31.

·                     Si tienen igual número de dígitos, se comparan éstos por las unidades de mayor orden (…, decenas de mil, unidades de mil, centenas, decenas o unidades) y es mayor el que tenga en el último orden el dígito mayor). Por ejemplo: Dados los números 10.567 y 10.528, ¿Cuál de los dos es mayor?

Veamos: 10.567 es mayor que 10.528 ya que comparando las decenas de cada número dado 6 > 2 las decenas tienen el dígito 6 mayor que el 2. Luego: 10.567 > 10.528.

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ANEXO 2. PROPIEDADES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

Adición: Dados a, b, c Є, se define la suma o adición como a + b = c., donde a y b se denominan sumandos y c suma o total.

Sustracción: es la operación por medio de la cual, conocidos la suma y uno de los sumandos, se puede hallar el otro sumando. Dados a, b, c Є, se define la resta o sustracción como a-b=c siempre que a= b + c, donde a se denomina minuendo, b sustraendo y c diferencia. Por ejemplo,13-8=5, ya que 5+8=13.

Ejemplos:

PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES: SUMA Y RESTA ENTRE NÚMEROS NATURALES.

Propiedad clausurativa: 

La suma de dos o más números naturales es otro número natural.

Ejemplo: 3 y 1 son dos números naturales, 3 + 1 = 4, 4 también es un número natural.

3 es un número natural, 1 es un número natural y 4 también es un número natural.

Luego, la operación suma del sistema de los números naturales, es clausurativa.

La propiedad clausurativa, no se cumple para la resta de números naturales. Pues 9-13= un numero no natural.

Propiedad conmutativa: El orden en que se escriban los sumandos no cambia el resultado de una suma.

Ejemplo:

Entonces,  3 + 2 = 2 + 3,    5 = 5

Luego, la operación suma del sistema de los números naturales, es conmutativa.

La propiedad conmutativa, no se cumple para la resta de números naturales.

Propiedad asociativa: Dos o más números se pueden adicionar formando grupos diferentes y la suma no cambia.

Ejemplo:

Luego, la operación suma del sistema de los números naturales, es asociativa.

La propiedad asociativa, no se cumple para la resta de números naturales.

Propiedad modulativa:

18 + 0 = 18

35 + 0 = 35

1 + 0 = 1

Como se observa, el módulo de la suma en el sistema de números naturales es cero.

La suma de un número Natural con cero, da como resultado el mismo número natural.

EJEMPLO:

Si a=1.019, b=3.545, c=13.017 y d=8.940, efectúa, la siguiente operación: a+c+b+d+0

= a+b+c+d+0                                             Propiedad conmutativa.

= 1.019 + 3.545 + 13.017 + 8.940 + 0          Reemplazar valores.

= (1.019 + 3.545) + (13.017 + 8.940 + 0)     Propiedad asociativa.

=(1.019 + 3.545) + (13.017 + 8.940)          Propiedad modulativa.

=4.564 + 21.957                                      Efectuar sumas indicadas.

=26.521

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS

Frecuentemente, encontramos problemas prácticos cuya solución exige efectuar sumas y restas.

Ejemplo:

Carlos tenía en el banco $12.427. Posteriormente realizó las siguientes operaciones:

1	En enero retira	$ 3.428
2	En febrero deposita	$ 1.285
3	En abril deposita	$ 4.824
4	En junio retira	$ 6.289
5	En julio retira	$ 2.626
6	En octubre deposita	$ 4.315
7	En diciembre retira	$ 8.415

Determinemos el saldo de la cuenta al final del año, lo cual podemos hacer de dos maneras:

1.       En el mismo orden de los depósitos y retiros.

$12.427 - $ 3.428 + $ 1.285 + $ 4.824  - $ 6.289 - $ 2.626 + $ 4.315 - $ 8.415= 2.093

2.       Sumando separadamente los depósitos y los retiros, y finalmente restando los resultados, así:

DEPOSITOS		RETIROS
$ 12.427		$ 3.428
$ 1.285		$ 6.289
$ 4.824		$ 2.626
$ 4.315		$ 8.415
22.851	_	20.758	=	2.093
Suma de positivos		Suma de negativos