PUNTO DE LLEGADA
ü Formulo hipótesis y
propongo soluciones a partir de los conceptos vistos.
ü Realizo la descomposición factorial y
determina el mcm y mcd entre varias cantidades.
ü Formulo y resuelvo problemas en situaciones
multiplicativas y de división, en diferentes contextos y dominios numéricos.
ACTIVIDADES DE PUNTO DE
PARTIDA
1. EN CASA: Juega y divierte, visitando
cada una de las siguientes páginas: http://cor.to/AEPu (JUEGO DE NAVE QUE DISPARA: La nave
de Velila, tablas, sumas y restas)
http://cor.to/AEPn (LOS BOTONES QUE CORRIGEN:
Multiplicación por la unidad seguida de
ceros)
http://cor.to/AE2e (A TIEMPO, divisiones)
INVESTIGACIÓN
1. Realice lectura del documento Anexo
1.
2.En la parte de atrás de tu
cuaderno, define cada uno de los términos que encuentres y estudialos.
(multiplicación, división, multiplos, submultiplos o divisores, critesrios de
divisibilidad, numeros primos, números compuestos, descomposición de un número
en sus factores primos, MCD y MCM)
DESARROLLO DE LA HABILIDAD
Recuerda para resolver cualquier
ejercicios necesitas del diccionario que realizaste en tu cuaderno o en su
defecto el anexo. (Busca cada tema en el y léelo con atención antes de empezar
cualquier punto)
1.
Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) 423x3 b) 234x23
c) 235x35 d) 257x345
e)
En el colegio, se está realizando un bazar para recolectar fondos, María y
Juana deciden hacer pastelillos empacados en cajas de 7 unidades, En total
empacaron 9 cajas. Cuantos
pastelillos elaboraron María y Juana?
f) Daniel, el hijo
de Alfredo, ha estado recolectando café y le pagaron a $450 cada kilo recogido.
Daniel alcanzó a recoger 300 kilos. ¿Cuánto dinero recibió Daniel?
2.
Realiza las siguientes divisiones:
a)
426÷2
b)
10162÷28.
c)
690302÷135
Copia y resuelve en tu cuaderno, los
casos siguientes, teniendo en cuenta los significados de múltiplos y
submúltiplos
3.
Completa las tablas:
4. En una bolsa hay menos de 30 semillas.
Podemos hacer grupos de 4 semillas sin que sobre ninguna. Si hacemos grupos de
5 semillas tampoco sobra ninguna. ¿Cuántas semillas hay en la bolsa?
Teniendo en cuenta los criterios de
divisibilidad, responde:
5.
Sacar directamente la mitad de cada uno de los números que sean divisibles por
2 en la lista siguiente y escribirla debajo del número:
a) 123.764 b) 4.095 c) 13.896 d) 10.887
6.
El 2 es divisor de casi todos los números siguientes. Tacha con una X los que NO
son divisibles por 2.
24,
25, 28, 36, 78, 35, 86, 90, 56, 74, 23, 81,100, 17, 8, 14, 6, 7, 19, 30, 42,
44, 55
¿Cómo
puedes saber al mirarlo si un entero es divisible por 2?
7.
Identifica los números de la siguiente lista que sean divisibles por 3 y
sácales la tercera parte. Escribe debajo de cada uno el resultado.
48 306
781 43.890 65.999 3993 1.005
73.770
8.
Tacha los números que NO sean divisibles por 9 de la siguiente lista:
1,
20, 10, 101, 30, 64, 80, 45, 72, 200, 104, 90, 126, 33, 700, 401, 150.
9. Teniendo en cuenta la definición de
números primos y compuestos. En la siguiente lista encierra los números
primos. 5, 7, 9, 2, 4, 11, 14, 17, 16,
15, 21, 23, 19, 31, 33, 42
10.
Revisa en el diccionario o anexo el
tema: Descomposición de un número en sus factores primos.
Encuentra
todos los factores primos de cada uno de los números que siguen y exprésalo
como producto de esos factores primos.
11.
Encuentra el MCD de:
12.
Encuentra el MCM de:
MCM
(10,12) = ________MCM (30, 45, 105) = _____________
RELACIÓN
Tú
vendes chocolatinas a tus amigos y conocidos. Mantienes un cuaderno en el que
llevas el control de las ventas que realizas diariamente. La siguiente tabla
ilustra la cantidad de chocolatinas
vendidas en la última semana.
1. Si cada chocolatina tiene un costo
de $250, ¿Cuánto dinero recaudaste cada uno de los cuatro días por la venta de
chocolatinas?
2. Revisando las ventas, observaste
que un día el dinero recaudado por la venta de chocolatinas fue $3850. ¿Cuántas
chocolatinas vendiste ese día?
3.
Tu tía tiene una floristería y te pide que con las 12 rosas rojas y las 18
rosas blancas,
formes
ramilletes de rosas del mismo color, de
manera que tengan el mismo número en cada uno y no queden rosas sueltas.
Pero además quiere que la cantidad de
rosas en cada ramillete, sea la mayor posible? Cuantas rosas debe de tener
cada ramillete? Y cuantos ramilletes se pueden formar? (como dice la mayor
posible utiliza el MCD para responder las preguntas).
4. Vas a montar un negocio de comidas
rápidas, necesitas proveerlo de panes y salchichas. Los panes los consigues en
bolsas de 8 unidades, mientras las salchichas en paquetes de 10 unidades. Si quieres
conseguir igual cantidad de panes que de salchichas, ¿Qué cantidad mínima de cada articulo puedes
comprar?.(Como dice cantidad mínima o la menor posible utiliza el MCM para
responder las preguntas)
ANEXO
ü MULTIPLICACIÓN
Se debe tener en cuenta que esta
operación es la suma sucesiva de uno de los números que se multiplica, tantas
veces como lo indique el otro número que se multiplica. En el proceso general
de la multiplicación no se debe olvidar que para multiplicar números se debe
seguir un orden específico, primero se multiplican las unidades del segundo
número, luego las decenas, a continuación las centenas y así sucesivamente. No
olvidar dejar el espacio de las unidades al acomodar el producto en las decenas
e igualmente se deja un espacio al acomodar el producto al acomodar las
centenas. Luego se suman los resultados de los productos parciales para
encontrar el producto total.
Ejemplo
1: multiplicación de números enteros.
Hallar el producto entre 236 y 654
2
|
3
|
6
|
x
|
||||
6
|
5
|
4
|
|||||
9
|
4
|
4
|
+
|
Escribe el
resultado de multiplicar 236 por 4 (unidades)
|
|||
1
|
1
|
8
|
0
|
Escribe el
resultado de multiplicar 236 por 5 (decenas)
|
|||
1
|
4
|
1
|
6
|
Escribe el
resultado de multiplicar 236 por 6 (centenas)
|
|||
1
|
5
|
4
|
3
|
4
|
4
|
Observe que el producto de 236 por 4 se anota
en línea con los factores, luego el producto de la multiplicación entre 236 y 5
se anota dejando el espacio de las unidades, luego el
producto entre 236 y 6, se escribe dejando los espacios de las unidades y las
decenas.
ü DIVISIÓN
Para dividir un número entre otro, se
debe tener en cuenta que se puede realizar la división aplicando la estrategia
de la sumatoria del divisor y restándole el resultado al dividendo,
sucesivamente hasta hallar el residuo (Un número menor que el divisor).
DIVISIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS
Ejemplo
1: Dividir 15.675 entre 345.
El divisor es 345. Primero
se observa si el 345 (Divisor) es mayor o igual al primer digito del dividendo
(15.675), el 345 es mayor que el 1,
por ello tomo otro digito del dividendo, el 345 es mayor que el 15, no, por ello tomo otro dígito del dividendo, el
345 es mayor que el 156, no, por ello tomo otro dígito del dividendo, el 345 es
menor que el 1.567, ahora debo saber cuántas veces puedo sumar el 345, hasta
llegar a un número cercano a 1.567 y
menor que él.
345
|
+ Sumo 1 vez
|
||||||
345
|
Sumo
2 veces
|
||||||
690
|
+
|
||||||
345
|
Sumo
3 veces
|
||||||
1035
|
+
|
||||||
345
|
Sumo
4 veces
|
||||||
1380
|
+
|
||||||
345
|
Sumo
5 veces
|
||||||
1725
|
|||||||
15675
|
345
|
||||||
-1380
01875
|
45
|
Resto
el valor de la suma del divisor para 4 veces y bajo el 5
|
|||||
-1725
0150
|
Observo
cuántas veces esta el 345 en el 1875, en la sumatoria del divisor sumo
nuevamente el 345, y obtengo que el 345 en el 1875 esta cinco veces, le resto
al 1875 el valor que da la sumatoria de 5 y se termina la división, dado que
el residuo es menor que el divisor
|
||||||
Los términos involucrados en la
división son:
ü Dividendo:
en el ejemplo es el 15675
ü Divisor:
en el ejemplo es el 345
ü Cociente:
En el ejemplo es el 45
ü Residuo:
en el ejemplo es el 150
Para
verificar que su división está bien hecha, debe seguir el siguiente
procedimiento:
Multiplique
el cociente por el divisor y a ese resultado súmele el residuo, el número T
ü MÚLTIPLOS
Los múltiplos de un número son los números
que se obtienen al multiplicar el NÚMERO por los enteros.
Por ejemplo:
7, 14, 49, 63,... son múltiplos de 7. Porque 7 = 7x1, 14=7x2, 49=7x7.
Ejemplos 2,
múltiplos de 2:
ü DIVISOR (O
SUBMÚLTIPLO):
El
divisor (o submúltiplo) de un número natural es aquel que divide exactamente a
ese número
Es decir
21 divido 3 es igual a 7 y no hay residuo.
Los
divisores de un número se utilizan cuando es necesario hacer una distribución
en partes iguales de una colocación de objetos o personas.
Por ejemplo:
Al
organizar, una formación con 12 niños y niñas de un salón en grupos de 3, se
obtuvo 4 y no quedaron niños por fuera de la formación, 12 son la totalidad de
niños y niñas que se organizan (dividendo); 3 son los grupos que se distribuyen
en partes iguales (divisor); 4 son los niños y niñas que conforman cada grupo
de 3 (cociente); 0 son los niños o niñas que quedan por fuera de la formación
(residuo).
El 3 es divisor de 12, porque 12 ÷ 3 =
4 y el residuo es 0.
ü CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
Los criterios de divisibilidad nos
permiten averiguar en algunos casos si un número a es divisible entre otro número b sin efectuar la división a÷b.
A continuación se exponen una serie de
criterios sencillos para determinar si un número dado es divisible entre 2, 3,
4, 5, 6, 9 y 11.
1. Criterios de divisibilidad entre 2. Un número es divisible entre 2 si y sólo si
las cifras de las unidades es par, es decir, 0, 2, 4, 6 u 8.
Por ejemplo, 2406
es divisible entre 2 porque termina en 6.
2. Criterio de divisibilidad entre 3.
Un número es divisible entre 3 si y sólo si la suma de sus cifras es múltiplo
de 3.
Por ejemplo, 2407
es divisible entre 3 ya que 
que es un múltiplo de 3.
que es un múltiplo de 3.
3. Criterio de divisibilidad entre 4.
Un número es divisible entre 4 si y sólo si las dos últimas cifras son ceros o
forman un múltiplo de 4.
Por ejemplo,
1064 es divisible entre 4 pues 64 es
múltiplo de 4; 5300 es divisible entre 4 pues sus dos últimas cifras son ceros.
4. Criterio de divisibilidad entre 5.
Un número es divisible entre 5 si y sólo si la cifra de las unidades es 0 ó 5.
Por ejemplo, 70 y
45 son divisibles entre 5 pues el primero acaba en 0 y segundo en 5.
5. Criterio de divisibilidad entre 6.
Un número es divisible entre 6 si y sólo si es divisible entre 2 y entre 3 simultáneamente.
Por ejemplo, 1422
es divisible entre 6 porque acaba en 2 y 1+4+2+2 = 9 que es múltiplo de 3.
6. Criterio de divisibilidad entre 9.
Un número es divisible entre 9 si y sólo si la suma de sus cifras es un
múltiplo de 9.
Por ejemplo,
33741 es divisible entre 9 ya que 3+3+7+4+1= 18 que es múltiplo de 9.
7. Criterio de divisibilidad entre 11.
Un número es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de las
cifras que ocupan el lugar par y las que ocupan el lugar impar es cero 0 o
múltiplo de 11.
Por ejemplo, 8184
es divisible entre 11 ya que 3+8 = 16, 1+4=5 y 16-5=11 que es múltiplo de 11.
ü NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS:
Los
números Naturales son primos o compuestos y los criterios de divisibilidad son
las herramientas para determinar si un número Natural es primo o compuesto.
Los
números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97. El único número par que es
primo es el 2.
Los números
primos tienen únicamente dos divisores: el uno, que es divisor de todo
número y el mismo número.
Los
números compuestos tienen más de dos divisores.
La
tabla siguiente muestra los divisores de los números 2 a 10 y los clasifica
como primos o compuestos, es decir no primos.
ü DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS
FACTORES PRIMOS
Para descomponer un número en producto
de factores primos, se procede así:
1. Se
escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a la derecha el menor
número primo por el cual dicho número sea divisible.
2. El
cociente entre el número dado y el número primo elegido se coloca debajo del
número propuesto.
3. Se
repite el proceso 1 y 2, tomando como número dado el cociente obtenido cada
vez, hasta obtener un cociente igual a 1.
4. El
producto de los factores primos obtenidos en la descomposición es igual al
número dado.
Ejemplo 1:
60
|
2
|
30
|
2
|
15
|
3
|
5
|
5
|
1
|
Ejemplo 2: Usamos el método de sacar mitad,
tercera, quinta, ... etc., siguiendo la lista de los primos hasta que lleguemos
a un cociente que sea número primo y después a 1.
360
|
2
|
A la izquierda de la raya
vertical escribimos el 2 para sacar
mitad.
|
180
|
2
|
Debajo del 360 vamos escribiendo el resultado de sacar mitad.
|
90
|
2
|
Seguimos sacando mitad porque sigue saliendo 0 al final
|
45
|
3
|
Ya no se puede sacar más mitad, vemos que se puede sacar tercera
|
15
|
3
|
Otra vez se puede sacar tercera
|
5
|
5
|
Ya salió un número primo
que es 5, entonces dividimos por 5
|
1
|
1
|
Llegamos al cociente 1. Entonces terminó el proceso.
|
Apenas
llegamos al cociente 1, escribimos el producto de factores primos:
360 =
2x2x2x3x3x5=22x32x5
ü DIVISIÓN MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD):
El máximo común
divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos
números.
Para calcular el máximo común divisor
entre varios números se utiliza el método de la descomposición en factores
primos.
Método
1: Este procedimiento consiste en descomponer en
factores primos los números dados y elegir los números primos comunes en las
descomposiciones. Cada uno de ellos se eleva al menor exponente con que aparece
en las descomposiciones. El producto de aquellos será entonces el mcd.
Ejemplo:
Calcular el mcd (60, 150, 990) por
descomposición.
Solución:
Hallamos la descomposición en factores primos
de cada número.
60
|
2
|
150
|
2
|
990
|
2
|
30
|
2
|
75
|
3
|
495
|
3
|
15
|
3
|
25
|
5
|
165
|
3
|
5
|
5
|
5
|
5
|
55
|
5
|
1
|
1
|
11
|
11
|
||
1
|
|||||
60 = 22 x 3 x 5
|
150 = 2 x 3 x 52
|
990 = 2 x 3 x 5 x 11
|
|||
Los
factores primos comunes son 2, 3, y 5. El menor exponente con el que aparece
cada uno de ellos es 1. Entonces su producto será el mcd. Luego: mcd (60, 150,
990) = 2 x 3 x 5 = 30. Si tomamos los tres números en la columna izquierda y
hallamos los números primos que los dividen simultáneamente, su producto será el
mcd y el método se simplifica.
Método
2 ó rápido para encontrar el MCD de varios números.
Queremos
encontrar el MCD de 12, 18 y 54 y para lograrlo hacemos así:
Vamos
dividiendo por cada uno de los primos, en orden ascendente, siempre que los
tres números sean divisibles por él y repitiendo si todos los cocientes siguen
siendo divisibles por el mismo primo.
12
|
18
|
54
|
2
|
porque todos son divisibles por 2
|
6
|
9
|
27
|
3
|
porque ya no se pueden dividir todos por 2, pero sí por 3
|
2
|
3
|
9
|
se terminó el proceso porque no hay más divisores comunes
|
Entonces,
el Máximo Común Divisor de 12, 18 y 54 es 2x3 = 6,
esto es, el Producto de los Divisores Primos Comunes.
ü MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM):
El mínimo común múltiplo de dos o más
números es el menor de los múltiplos no nulos comunes a dichos números.
Método
1: Para calcular el mínimo común múltiplo entre
varios números se utiliza el método de la descomposición en factores primos.
Este procedimiento consiste en descomponer en factores primos los números dados
y elegir los números primos comunes y los no comunes elevados al mayor
exponente con que aparecen en las descomposiciones. El producto de aquellos
será entonces el mcm.
Ejemplo:
Calcular el mcm (20, 36, 70) por
descomposición.
Solución:
Hallaremos la descomposición en factores
primos de cada número:
20
|
2
|
36
|
2
|
70
|
2
|
10
|
2
|
18
|
2
|
35
|
5
|
5
|
5
|
9
|
3
|
7
|
7
|
1
|
3
|
3
|
1
|
||
1
|
|||||
20 = 22 x 5
|
36 = 22 x 32
|
70 = 2 x 5 x 7
|
|||
Los factores primos comunes son 2 x 2
y los no comunes son 3 x 3, 5 y 7. Entonces el producto de todos será el mcm.
Luego: mcm (20, 36, 70) = 22 x 32 x 5 x 7=1260.
Si tomamos los tres números en la
columna izquierda y hallamos los números primos que los dividen hasta agotar
las divisiones sucesivamente de cada número, su producto será el mcm y el
método se simplifica.
Método
2 rápido para encontrar el MCM de varios números:
Se
utilizan los criterios de divisibilidad y los números primos en el siguiente
orden 2(segunda), 3 (tercera), 5 (quinta), 7 (séptima), 11 (onceava), etc.
Para
el mismo ejemplo anterior: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO” de 20, 36 y 70 comenzamos
exactamente igual que en el caso del MCD, pero después seguimos sacando los
divisores de cada uno de los números, así:
20
|
36
|
70
|
2
|
Sacamos mitad (2), pues todos son divisibles por 2.
|
10
|
18
|
35
|
2
|
Sacamos mitad (2), pues
aun hay números que tienen mitad. Los que no son divisibles por 2 se bajan
igual.
|
5
|
9
|
35
|
3
|
Sacamos tercera (3) pues ya no hay números divisibles por 2 y el
número primo que sigue es 3. Los que no son divisibles por 3, se bajan igual.
|
5
|
3
|
35
|
3
|
Sacamos el factor común 3, pues aún hay un número divisibles por
3.
|
5
|
1
|
35
|
5
|
Sacamos quinta (5), pues ya no hay más números divisibles por 3
y el numero primo que sigue es 5.
|
1
|
1
|
7
|
7
|
Sacamos séptima (7), pues ya no hay más números divisibles por 5
y el número primo que sigue es 7.
|
1
|
1
|
1
|
Terminó el proceso, porque todos se convirtieron en 1.
|
Si
observamos el Mínimo Común Múltiplo de 20, 36 y 70 es el producto de todos los
divisores que quedaron en la fila de la derecha, es decir de los divisores
comunes y los no comunes de los tres números. Luego:
mcm (20,
36, 70) = 22 x 32 x 5 x 7=1260. (El mismo resultado)
BIBLIOGRAFIA
·
Espiral
6. Serie de matemáticas para básica secundaria y
media..
Editorial
Norma 2004.Bogota.
Raquel
Ardila de Rebolledo.
Ana
Cecilia Castiblanco.
Mario
Ernesto Pérez Ruiz.
Carmen
Samper de Caicedo.
Con
estándares y competencias.
·
Matemáticas
6. Liceo
Salazar y Herrera. DELTA. Ciencia y virtud. Editorial norma.2009.
·
Refuerzo y ampliación Matemáticas 2
para 2.º de primaria es una obra colectiva
concebida,
diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana
Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal..http://www.colegiopenafort.com/wp-content/uploads/2013/06/2%C2%BA-Matem%C3%A1ticas-RyA-Caminos.pdf
·
Secundaria Activa. Matemáticas
grado sexto. MINISTERIO DE EDUCACION. AIRGRUEIR RAES AESSEOSORREESS SS..AA.S.
Eduardo Aguirre Dávila
·
TALLERES DE ARITMETICA GRADO SEXTO
Margarita María Niño Torres.
·
Tematica fontan grado 2 y 3.
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